Mata Kuliah SI semester 1(Matematika Diskrit)

PENGERTIAN MATEMATIKA DISKRIT

Matematika diskrit adalah cabang matematika yang mengkaji objek-objek diskrit. Benda disebut diskrit jika ia terdiri dari sejumlah berhingga elemen yang berbeda atau elemen-elemen yang tidak berkesinambungan. Himpunan bilangan bulat (integer) dipandang sebagai objek diskrit. Lawan kata diskrit adalah kontinyu atau menerus. Himpunan bilangan riil (real) adalah suatu objek kontinu. Di dalam matematika kita mengenal fungsi diskrit dan fungsi kontinu. Fungsi diskrit digambarkan sebagai sekumpulan titik-titik, sedangkan fungsi kontinu digambarkan sebagai kurva. Matematika diskrit berkembang sangat pesat dalam dekade terakhir ini. Salah satu alasan yang menyebabkan perkembangan pesat itu adalah karena komputer digital bekerja secara diskrit. Informasi yang disimpan dan dimanipulasi oleh komputer adalah dalam bentuk diskrit. Salah satu materi di dalam matematika diskrit ini adalah teori bilangan bulat. Sesuai dengan namanya, teori bilangan bulat sangat erat hubungannya dengan bilangan bulat. Bilangan bulat itu sendiri adalah bilangan yang tidak mempunya pecahan desimal, misalnya adalah 2, 43, 566, -64, 0 dan sebagainnya. Teori bilangan bulat dalam matematika diskrit memberikan penekanan dengan sifat pembagian. Sifat pembagian pada bilangan bulat melahirkan konsep-konsep seperti bilangan prima dan aritmatika modulo. Satu algoritma penting yang berhubungan dengan sifat pembagian ini adalah algoritma Euclidean. Baik bilangan prima, aritmatika modulo, dan algoritma Euclidean memainkan peran yang penting dalam bidang ilmu Kriptografi, yaitu ilmu yang mempelajari kerahasiaan pesan.

CONTOH PENGERTIAN MATEMATIKA DISKRIT

Misalkan A dan B adalah himpunan. Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B.

Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A -> B , yang artinya f memetakan A ke B.

· A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (codomain) dari f.

· Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi.

· Kita menuliskan f(a) = b jika elemen a di dalam A dihubungkan dengan elemen b di dalam B.

Jika f(a) = b, maka b dinamakan bayangan (image) dari a dan a dinamakan pra-bayangan (pre-image) dari b. Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut jelajah (range) dari f. 

Perhatikan bahwa jelajah dari f adalah himpunan bagian (mungkin proper subset) dari B.

Fungsi adalah relasi yang khusus:

1. Tiap elemen di dalam himpunan A harus digunakan oleh prosedur atau kaidah yang mendefinisikan f.

2. Frasa “dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B” berarti bahwa jika (a, b) Î f dan (a, c) Î f, maka b = c.

Fungsi dapat dispesifikasikan dalam berbagai bentuk , diantaranya :

1 . Himpunan pasangan terurut . Seperti pada relasi .

2 . Formula pengisian nilai (assignment) .

Contoh : f ( x ) = 2 x + 1 0 , f (x) = x2 , dan f (x) = 1/x .

3 . Kata - kata

Contoh : “ f adalah fungsi yang memetakan jumlah bit 1 di dalam suatu string biner ” .

4 . Kode program (source code)

Contoh : Fungsi menghitung |x|

function abs (x:integer) : integer;

begin

if x < 0 then

abs : = - x

else

abs : = x ;

end ;

Contoh 

f = {(1, u), (2, v), (3, w)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi dari A ke B. Di sini

f(1) = u, f(2) = v, dan f(3) = w. Daerah asal dari f adalah A dan daerah hasil adalah B. Jelajah dari f adalah {u, v, w}, yang dalam hal ini sama dengan himpunan B.

Contoh

f = {(1, u), (2, v), (3, w)} dari A = {1, 2, 3, 4} ke B = {u, v, w} bukan fungsi, karena tidak semua

elemen A dipetakan ke B.

Contoh 

f = {(1, u), (1, v), (2, v), (3, w)}

dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} bukan fungsi, karena 1 dipetakan ke

dua buah elemen B, yaitu u dan v.

Fungsi f dikatakan satu-ke-satu (one-to-one) atau injektif (injective) jika tidak ada dua elemen himpunan A yang memiliki bayangan sama.

Contoh 

f = {(1, w), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w, x} adalah fungsi satu-ke-satu,

Tetapi relasi f = {(1, u), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} bukan fungsi satu-ke-satu,

karena f(1) = f(2) = u.

Contoh  

Misalkan f : Z -> Z. Tentukan apakah f(x) = x2 + 1 dan f(x) = x – 1 merupakan fungsi satu-ke-satu?

Penyelesaian:

(i) f(x) = x2 + 1 bukan fungsi satu-ke-satu, karena untuk dua x yang bernilai mutlak sama tetapi tandanya berbeda nilai fungsinya sama, misalnya f(2) = f(-2) = 5 padahal –2 ¹ 2.

(ii) f(x) = x – 1 adalah fungsi satu-ke-satu karena untuk a ¹ b, a – 1 ¹ b – 1. Misalnya untuk x = 2, f(2) = 1 dan untuk x = -2, f(-2) = -3.

Fungsi f dikatakan dipetakan pada (onto) atau surjektif (surjective) jika setiap elemen himpunan B merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A. Dengan kata lain seluruh elemen B merupakan jelajah dari f. Fungsi f disebut fungsi pada himpunan B.

Contoh 

f = {(1, u), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} bukan fungsi pada karena w tidak termasuk jelajah dari f.

f = {(1, w), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} merupakan fungsi pada karena

semua anggota B merupakan jelajah dari f.

Contoh 

Misalkan f : Z -> Z. Tentukan apakah f(x) = x2 + 1 dan f(x) = x – 1 merupakan fungsi pada?

Penyelesaian:

(i) f(x) = x2 + 1 bukan fungsi pada, karena tidak semua nilai bilangan bulat merupakan jelajah dari f.

(ii) f(x) = x – 1 adalah fungsi pada karena untuk setiap bilangan bulat y, selalu ada nilai x yang memenuhi, yaitu y = x – 1 akan dipenuhi untuk x = y + 1.

Fungsi f dikatakan berkoresponden satu-ke-satu atau bijeksi (bijection) jika ia fungsi satu-ke-satu dan juga fungsi pada.

Contoh

f = {(1, u), (2, w), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena f adalah fungsi satu-ke-satu maupun fungsi pada.

Jika f adalah fungsi berkoresponden satu-ke-satu dari A ke B, maka kita dapat menemukan balikan (invers) dari f. Balikan fungsi dilambangkan dengan f –1. Misalkan a adalah

anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B, maka f -1(b) = a jika f(a) = b. Fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu sering dinamakan juga fungsi yang invertible (dapat dibalikkan), karena kita dapat mendefinisikan fungsi balikannya. Sebuah fungsi dikatakan not invertible (tidak dapat dibalikkan) jika ia bukan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena fungsi balikannya tidak ada.

Contoh 

f = {(1, u), (2, w), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi yang

berkoresponden satu-ke-satu. Balikan fungsi f adalah f -1 = {(u, 1), (w, 2), (v, 3)}

Jadi, f adalah fungsi invertible.

Contoh 

Tentukan balikan fungsi f(x) = x – 1.

Penyelesaian:

Fungsi f(x) = x – 1 adalah fungsi yang berkoresponden satu-kesatu, jadi balikan fungsi tersebut ada.

Misalkan f(x) = y, sehingga y = x – 1, maka x = y + 1. Jadi, balikan fungsi balikannya adalah f-1(y) = y +1.

Contoh 

Tentukan balikan fungsi f(x) = x2 + 1.

Penyelesaian:

Dari Contoh 3.41 dan 3.44 kita sudah menyimpulkan bahwa f(x) = x – 1 bukan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, sehingga fungsi balikannya tidak ada. Jadi, f(x) = x2 + 1 adalah funsgi yang not invertible.




Jangan lupa lihat juga postingan dari blog teman-teman sekelasku !!!
http://alhimniblog.blogspot.com/
https://karyatulisilmiahnovita.blogspot.com/?m=1
http://erricogaming.blogspot.com/
http://faisolarifefendi.blogspot.com/
http://rizkyirwanp.blogspot.com/?m=1